Resolver {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=7$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+7$$

Ordeztu -3y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=17).

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Egin 3 bider -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Gehitu -9y eta y.

$$-8y+21=17$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin x=-3y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Egin -3 bider \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Gehitu 7 eta -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Sinplifikatu.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Egin 3x+y=17 ken 3x+9y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-y=21-17$$

Gehitu 9y eta -y.

$$8y=21-17$$

Gehitu 21 eta -17.

$$8y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin 3x+y=17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$