Resolver {l}{x+3y=26}{7x-2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=26$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+26$$

Ordeztu -3y+26 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-2y=44).

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

Egin 7 bider -3y+26.

$$-21y+182-2y=44$$

Gehitu -21y eta -2y.

$$-23y+182=44$$

Egin ken 182 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-23y=-138$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=-3y+26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\times 6+26$$

Egin -3 bider 6.

$$x=-18+26$$

Gehitu 26 eta -18.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

Sinplifikatu.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

Egin 7x-2y=44 ken 7x+21y=182 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y+2y=182-44$$

Gehitu 21y eta 2y.

$$23y=182-44$$

Gehitu 182 eta -44.

$$23y=138$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 7x-2y=44 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-2\times 6=44$$

Egin -2 bider 6.

$$7x-12=44$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=6$$