Resolver {l}{x+3=2y+1}{2x-1=y+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = 2 y + 1 } \\ { 2 x - 1 = y + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+3-2y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$x-2y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$x-2y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$2x-y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=-2$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y-2$$

Ordeztu -2+2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=2).

$$2\left(2y-2\right)-y=2$$

Egin 2 bider -2+2y.

$$4y-4-y=2$$

Gehitu 4y eta -y.

$$3y-4=2$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=2y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 2-2$$

Egin 2 bider 2.

$$x=4-2$$

Gehitu -2 eta 4.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+3-2y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$x-2y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$x-2y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$2x-y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+3-2y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$x-2y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$x-2y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$2x-y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-2\right),2x-y=2$$

Sinplifikatu.

$$2x-4y=-4,2x-y=2$$

Egin 2x-y=2 ken 2x-4y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-4y+y=-4-2$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+y=-4-2$$

Gehitu -4y eta y.

$$-3y=-4-2$$

Gehitu -4 eta -2.

$$-3y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2=2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$