Resolver {l}{x+2y=5}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=5$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+5$$

Ordeztu -2y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=4).

$$-2y+5-y=4$$

Gehitu -2y eta -y.

$$-3y+5=4$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x=-2y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+5$$

Egin -2 bider \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{2}{3}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{13}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Egin x-y=4 ken x+2y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+2y+y=5-4$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+y=5-4$$

Gehitu 2y eta y.

$$3y=5-4$$

Gehitu 5 eta -4.

$$3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x-y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{1}{3}=4$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{13}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$