Resolver {l}{x+2y=3}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=3$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+3$$

Ordeztu -2y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=10).

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

Egin 5 bider -2y+3.

$$-10y+15-y=10$$

Gehitu -10y eta -y.

$$-11y+15=10$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=\frac{5}{11}$$

Ordeztu \frac{5}{11} y balioarekin x=-2y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

Egin -2 bider \frac{5}{11}.

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{23}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

Sinplifikatu.

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

Egin 5x-y=10 ken 5x+10y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+y=15-10$$

Gehitu 10y eta y.

$$11y=15-10$$

Gehitu 15 eta -10.

$$11y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=\frac{5}{11}$$

Ordeztu \frac{5}{11} y balioarekin 5x-y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

Gehitu \frac{5}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{115}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{23}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$