Resolver {l}{x+2y=3}{2x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=3$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+3$$

Ordeztu -2y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=3).

$$2\left(-2y+3\right)+2y=3$$

Egin 2 bider -2y+3.

$$-4y+6+2y=3$$

Gehitu -4y eta 2y.

$$-2y+6=3$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} y balioarekin x=-2y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+3$$

Egin -2 bider \frac{3}{2}.

$$x=-3+3$$

Gehitu 3 eta -3.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3+3\\3-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Egin 2x+2y=3 ken x+2y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-2x+2y-2y=3-3$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-2x=3-3$$

Gehitu x eta -2x.

$$-x=3-3$$

Gehitu 3 eta -3.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin 2x+2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$