Resolver {l}{x+2y=1}{-2x+y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=1$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+1$$

Ordeztu -2y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+y=-4).

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

Egin -2 bider -2y+1.

$$4y-2+y=-4$$

Gehitu 4y eta y.

$$5y-2=-4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ordeztu -\frac{2}{5} y balioarekin x=-2y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

Egin -2 bider -\frac{2}{5}.

$$x=\frac{4}{5}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{4}{5}.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Sinplifikatu.

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

Egin -2x+y=-4 ken -2x-4y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-y=-2+4$$

Gehitu -4y eta -y.

$$-5y=-2+4$$

Gehitu -2 eta 4.

$$-5y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ordeztu -\frac{2}{5} y balioarekin -2x+y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$