Resolver {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=-8$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y-8$$

Ordeztu -2y-8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{3}{2}x+y=-2).

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

Egin \frac{3}{2} bider -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

Gehitu -3y eta y.

$$-2y-12=-2$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=-2y-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

Egin -2 bider -5.

$$x=10-8$$

Gehitu -8 eta 10.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

x eta \frac{3x}{2} berdintzeko, biderkatu \frac{3}{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

Sinplifikatu.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Egin \frac{3}{2}x+y=-2 ken \frac{3}{2}x+3y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

Gehitu \frac{3x}{2} eta -\frac{3x}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{2} eta -\frac{3x}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-y=-12+2$$

Gehitu 3y eta -y.

$$2y=-12+2$$

Gehitu -12 eta 2.

$$2y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin \frac{3}{2}x+y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-5$$