Resolver {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x+2y=-3$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y-3$$

Ordeztu -2y-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+5y+6=0).

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

Egin 4 bider -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Gehitu -8y eta 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Gehitu -12 eta 6.

$$-3y-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-2y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

Egin -2 bider -2.

$$x=4-3$$

Gehitu -3 eta 4.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Sinplifikatu.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

Egin 4x+5y+6=0 ken 4x+8y+12=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-5y+12-6=0$$

Gehitu 8y eta -5y.

$$3y+12-6=0$$

Gehitu 12 eta -6.

$$3y+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 4x+5y+6=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

Egin 5 bider -2.

$$4x-10+6=0$$

Gehitu -10 eta 6.

$$4x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$