Resolver {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+15-y=0$$

Kendu 15 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=-15$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y-15$$

Ordeztu y-15 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=0).

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Egin 4 bider y-15.

$$4y-60-y=0$$

Gehitu 4y eta -y.

$$3y-60=0$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=y-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=20-15$$

Gehitu -15 eta 20.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+15-y=0$$

Kendu 15 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+15-y=0$$

Kendu 15 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Egin 4x-y=0 ken x-y=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-4x-y+y=-15$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-4x=-15$$

Gehitu x eta -4x.

$$-3x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin 4x-y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4\times 5-y=0$$

Egin 4 bider 5.

$$20-y=0$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=20$$