Resolver {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: t, s

$$t=-7$$

$$s=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu t bi aldeetatik.

$$s-t=10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi t. Horretarako, isolatu t berdin ikurraren ezkerraldean.

$$t+2s=-1$$

Egin ken 2s ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=-2s-1$$

Ordeztu -2s-1 balioa t balioarekin beste ekuazioan (-t+s=10).

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

Egin -1 bider -2s-1.

$$2s+1+s=10$$

Gehitu 2s eta s.

$$3s+1=10$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3s=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$s=3$$

Ordeztu 3 s balioarekin t=-2s-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, t ebatz dezakezu zuzenean.

$$t=-2\times 3-1$$

Egin -2 bider 3.

$$t=-6-1$$

Gehitu -1 eta -6.

$$t=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$t=-7,s=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu t bi aldeetatik.

$$s-t=10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

Atera t eta s matrize-elementuak.

$$t=-7,s=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu t bi aldeetatik.

$$s-t=10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

t eta -t berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

Sinplifikatu.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

Egin -t+s=10 ken -t-2s=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

Gehitu -t eta t. Sinplifikatu egiten dira -t eta t. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2s-s=1-10$$

Gehitu -2s eta -s.

$$-3s=1-10$$

Gehitu 1 eta -10.

$$-3s=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$s=3$$

Ordeztu 3 s balioarekin -t+s=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, t ebatz dezakezu zuzenean.

$$-t+3=10$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-t=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$t=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$t=-7,s=3$$