Resolver {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi p. Horretarako, isolatu p berdin ikurraren ezkerraldean.

$$p+2q=4$$

Egin ken 2q ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=-2q+4$$

Ordeztu -2q+4 balioa p balioarekin beste ekuazioan (-3p+4q=18).

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

Egin -3 bider -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

Gehitu 6q eta 4q.

$$10q-12=18$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10q=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$q=3$$

Ordeztu 3 q balioarekin p=-2q+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p=-2\times 3+4$$

Egin -2 bider 3.

$$p=-6+4$$

Gehitu 4 eta -6.

$$p=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=-2,q=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera p eta q matrize-elementuak.

$$p=-2,q=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p eta -3p berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Sinplifikatu.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

Egin -3p+4q=18 ken -3p-6q=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Gehitu -3p eta 3p. Sinplifikatu egiten dira -3p eta 3p. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6q-4q=-12-18$$

Gehitu -6q eta -4q.

$$-10q=-12-18$$

Gehitu -12 eta -18.

$$-10q=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$q=3$$

Ordeztu 3 q balioarekin -3p+4q=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3p+4\times 3=18$$

Egin 4 bider 3.

$$-3p+12=18$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3p=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$p=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=-2,q=3$$