Resolver {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$mx-y+1-3m=0$$

Egin ken -3m+1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx-y=3m-1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=y+3m-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Egin \frac{1}{m} bider y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Ordeztu \frac{y-1+3m}{m} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+my-3m-1=0).

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Gehitu \frac{y}{m} eta my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Gehitu 3-\frac{1}{m} eta -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Egin ken 2-\frac{1}{m}-3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m+\frac{1}{m} balioarekin.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ordeztu \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} y balioarekin x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Egin \frac{1}{m} bider \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Gehitu 3-\frac{1}{m} eta \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu m balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Egin mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 ken mx-y+1-3m=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu mx eta -mx. Sinplifikatu egiten dira mx eta -mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu -y eta -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu -3m+1 eta m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Egin ken -2m+1+3m^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1-m^{2} balioarekin.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Ordeztu -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} y balioarekin x+my-3m-1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Egin m bider -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Gehitu -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} eta -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

Gehitu \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$mx-y+1-3m=0$$

Egin ken -3m+1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx-y=3m-1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=y+3m-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Egin \frac{1}{m} bider y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Ordeztu \frac{y-1+3m}{m} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+my-3m-1=0).

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Gehitu \frac{y}{m} eta my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Gehitu 3-\frac{1}{m} eta -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Egin ken 2-\frac{1}{m}-3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m+\frac{1}{m} balioarekin.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ordeztu \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} y balioarekin x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Egin \frac{1}{m} bider \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Gehitu 3-\frac{1}{m} eta \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu m balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Egin mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 ken mx-y+1-3m=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu mx eta -mx. Sinplifikatu egiten dira mx eta -mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu -y eta -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Gehitu -3m+1 eta m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Egin ken -2m+1+3m^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1-m^{2} balioarekin.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Ordeztu -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} y balioarekin x+my-3m-1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Egin m bider -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Gehitu -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} eta -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Gehitu \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$