Resolver {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Gehitu ny ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Egin \frac{1}{m} bider ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Ordeztu \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=2m).

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Gehitu \frac{ny}{m} eta y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Egin ken m+\frac{n^{2}}{m} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{m+n}{m} balioarekin.

$$y=m-n$$

Ordeztu m-n y balioarekin x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Egin \frac{n}{m} bider m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Gehitu m+\frac{n^{2}}{m} eta \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Ebatzi da sistema.

$$x=m+n,y=m-n$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=m+n,y=m-n$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu m balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Sinplifikatu.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Egin mx+my=2m^{2} ken mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu mx eta -mx. Sinplifikatu egiten dira mx eta -mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu -ny eta -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu m^{2}+n^{2} eta -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -m-n balioarekin.

$$y=m-n$$

Ordeztu m-n y balioarekin x+y=2m ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+m-n=2m$$

Egin ken m-n ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=m+n$$

Ebatzi da sistema.

$$x=m+n,y=m-n$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Gehitu ny ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Egin \frac{1}{m} bider ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Ordeztu \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=2m).

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Gehitu \frac{ny}{m} eta y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Egin ken m+\frac{n^{2}}{m} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{m+n}{m} balioarekin.

$$y=m-n$$

Ordeztu m-n y balioarekin x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Egin \frac{n}{m} bider m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Gehitu m+\frac{n^{2}}{m} eta \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Ebatzi da sistema.

$$x=m+n,y=m-n$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=m+n,y=m-n$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu m balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Sinplifikatu.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Egin mx+my=2m^{2} ken mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu mx eta -mx. Sinplifikatu egiten dira mx eta -mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu -ny eta -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Gehitu m^{2}+n^{2} eta -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -m-n balioarekin.

$$y=m-n$$

Ordeztu m-n y balioarekin x+y=2m ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+m-n=2m$$

Egin ken m-n ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=m+n$$

Ebatzi da sistema.

$$x=m+n,y=m-n$$