Resolver {l}{m-3n=1}{m+3n=5}

$$\left. \begin{array} { l } { m - 3 n = 1 } \\ { m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$m-3n=1$$

Gehitu 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=3n+1$$

Ordeztu 3n+1 balioa m balioarekin beste ekuazioan (m+3n=5).

$$3n+1+3n=5$$

Gehitu 3n eta 3n.

$$6n+1=5$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6n=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$n=\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2}{3} n balioarekin m=3n+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=3\times \frac{2}{3}+1$$

Egin 3 bider \frac{2}{3}.

$$m=2+1$$

Gehitu 1 eta 2.

$$m=3$$

Ebatzi da sistema.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Egin m+3n=5 ken m-3n=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$m-m-3n-3n=1-5$$

Gehitu m eta -m. Sinplifikatu egiten dira m eta -m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3n-3n=1-5$$

Gehitu -3n eta -3n.

$$-6n=1-5$$

Gehitu 1 eta -5.

$$-6n=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$n=\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2}{3} n balioarekin m+3n=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m+3\times \frac{2}{3}=5$$

Egin 3 bider \frac{2}{3}.

$$m+2=5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=3$$

Ebatzi da sistema.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$