Resolver {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$m+n=1$$

Egin ken n ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=-n+1$$

Ordeztu -n+1 balioa m balioarekin beste ekuazioan (-3m+2n=-2).

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

Egin -3 bider -n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

Gehitu 3n eta 2n.

$$5n-3=-2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5n=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$n=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} n balioarekin m=-n+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

m eta -3m berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

Egin -3m+2n=-2 ken -3m-3n=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

Gehitu -3m eta 3m. Sinplifikatu egiten dira -3m eta 3m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3n-2n=-3+2$$

Gehitu -3n eta -2n.

$$-5n=-3+2$$

Gehitu -3 eta 2.

$$-5n=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$n=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} n balioarekin -3m+2n=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

Egin 2 bider \frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

Egin ken \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$m=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$