Resolver {l}{m+n=-1}{2n-3m=2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = - 1 } \\ { 2 n - 3 m = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$n=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$m+n=-1$$

Egin ken n ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=-n-1$$

Ordeztu -n-1 balioa m balioarekin beste ekuazioan (-3m+2n=2).

$$-3\left(-n-1\right)+2n=2$$

Egin -3 bider -n-1.

$$3n+3+2n=2$$

Gehitu 3n eta 2n.

$$5n+3=2$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5n=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$n=-\frac{1}{5}$$

Ordeztu -\frac{1}{5} n balioarekin m=-n-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\left(-\frac{1}{5}\right)-1$$

Egin -1 bider -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{1}{5}-1$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{5}.

$$m=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

m eta -3m berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3m-3n=-3\left(-1\right),-3m+2n=2$$

Sinplifikatu.

$$-3m-3n=3,-3m+2n=2$$

Egin -3m+2n=2 ken -3m-3n=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3m+3m-3n-2n=3-2$$

Gehitu -3m eta 3m. Sinplifikatu egiten dira -3m eta 3m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3n-2n=3-2$$

Gehitu -3n eta -2n.

$$-5n=3-2$$

Gehitu 3 eta -2.

$$-5n=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$n=-\frac{1}{5}$$

Ordeztu -\frac{1}{5} n balioarekin -3m+2n=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3m+2\left(-\frac{1}{5}\right)=2$$

Egin 2 bider -\frac{1}{5}.

$$-3m-\frac{2}{5}=2$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3m=\frac{12}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$m=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$