Resolver {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$fx-y=7$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$fx=y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak f balioarekin.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Egin \frac{1}{f} bider y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Ordeztu \frac{7+y}{f} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+fy=8).

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Egin -9 bider \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Gehitu -\frac{9y}{f} eta fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Gehitu \frac{63}{f} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak f-\frac{9}{f} balioarekin.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Ordeztu \frac{63+8f}{f^{2}-9} y balioarekin x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Egin \frac{1}{f} bider \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Gehitu \frac{7}{f} eta \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu f balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Sinplifikatu.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Egin \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ken \left(-9f\right)x+9y=-63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu -9fx eta 9fx. Sinplifikatu egiten dira -9fx eta 9fx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu 9y eta -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu -63 eta -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -f^{2}+9 balioarekin.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Ordeztu -\frac{63+8f}{9-f^{2}} y balioarekin -9x+fy=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Egin f bider -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Gehitu \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$fx-y=7$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$fx=y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak f balioarekin.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Egin \frac{1}{f} bider y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Ordeztu \frac{7+y}{f} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+fy=8).

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Egin -9 bider \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Gehitu -\frac{9y}{f} eta fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Gehitu \frac{63}{f} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak f-\frac{9}{f} balioarekin.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Ordeztu \frac{63+8f}{f^{2}-9} y balioarekin x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Egin \frac{1}{f} bider \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Gehitu \frac{7}{f} eta \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$fx-y=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$fy-9x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu f balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Sinplifikatu.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Egin \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ken \left(-9f\right)x+9y=-63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu -9fx eta 9fx. Sinplifikatu egiten dira -9fx eta 9fx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu 9y eta -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Gehitu -63 eta -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -f^{2}+9 balioarekin.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Ordeztu -\frac{63+8f}{9-f^{2}} y balioarekin -9x+fy=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Egin f bider -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Gehitu \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$