Resolver {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$cx+y=69$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$cx=-y+69$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak c balioarekin.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Egin \frac{1}{c} bider -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Ordeztu \frac{69-y}{c} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=87).

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Egin 2 bider \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Gehitu -\frac{2y}{c} eta y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Egin ken \frac{138}{c} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{-2+c}{c} balioarekin.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Ordeztu \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} y balioarekin x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Egin -\frac{1}{c} bider \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Gehitu \frac{69}{c} eta -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Egin 2x+y=87 ken cx+y=69 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$cx-2x=69-87$$

Gehitu cx eta -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Gehitu 69 eta -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak c-2 balioarekin.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Ordeztu -\frac{18}{c-2} x balioarekin 2x+y=87 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Egin 2 bider -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Gehitu \frac{36}{c-2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$