Resolver {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12bx-15y=-4$$

Gehitu 15y ekuazioaren bi aldeetan.

$$12bx=15y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12b balioarekin.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Egin \frac{1}{12b} bider 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Ordeztu \frac{-4+15y}{12b} balioa x balioarekin beste ekuazioan (16x+10y=7).

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Egin 16 bider \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Gehitu \frac{20y}{b} eta 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Gehitu \frac{16}{3b} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{20}{b}+10 balioarekin.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Ordeztu \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} y balioarekin x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Egin \frac{5}{4b} bider \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Gehitu -\frac{1}{3b} eta \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx eta 16x berdintzeko, biderkatu 16 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 12b balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Sinplifikatu.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Egin 192bx+120by=84b ken 192bx-240y=-64 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Gehitu 192bx eta -192bx. Sinplifikatu egiten dira 192bx eta -192bx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Gehitu -240y eta -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Gehitu -64 eta -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -240-120b balioarekin.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Ordeztu \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} y balioarekin 16x+10y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Egin 10 bider \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Egin ken \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$