Resolver {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+by=c$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+c}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (a^{2}x+b^{2}y=c).

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Egin a^{2} bider \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Gehitu -bay eta b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Egin ken ca ekuazioaren bi aldeetan.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b\left(b-a\right) balioarekin.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Ordeztu \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Egin -\frac{b}{a} bider \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Gehitu \frac{c}{a} eta -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax eta a^{2}x berdintzeko, biderkatu a^{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Sinplifikatu.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Egin a^{3}x+ab^{2}y=ac ken a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{3}x eta -a^{3}x. Sinplifikatu egiten dira a^{3}x eta -a^{3}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{2}by eta -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{2}c eta -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak ab\left(a-b\right) balioarekin.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Ordeztu \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} y balioarekin a^{2}x+b^{2}y=c ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Egin b^{2} bider \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Egin ken \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a^{2} balioarekin.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+by=c$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+c}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (a^{2}x+b^{2}y=c).

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Egin a^{2} bider \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Gehitu -bay eta b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Egin ken ca ekuazioaren bi aldeetan.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b\left(-a+b\right) balioarekin.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Ordeztu \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Egin -\frac{b}{a} bider \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Gehitu \frac{c}{a} eta -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax eta a^{2}x berdintzeko, biderkatu a^{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Sinplifikatu.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Egin a^{3}x+ab^{2}y=ac ken a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{3}x eta -a^{3}x. Sinplifikatu egiten dira a^{3}x eta -a^{3}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{2}by eta -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Gehitu a^{2}c eta -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak ab\left(a-b\right) balioarekin.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Ordeztu \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} y balioarekin a^{2}x+b^{2}y=c ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Egin b^{2} bider \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Egin ken \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a^{2} balioarekin.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$