Resolver {l}{a-b=-2}{3a+4b=2429}

$$\left. \begin{array} { l } { a - b = - 2 } \\ { 3 a + 4 b = 2429 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{2421}{7} = 345\frac{6}{7} \approx 345.857142857$$

$$b = \frac{2435}{7} = 347\frac{6}{7} \approx 347.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a-b=-2$$

Gehitu b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=b-2$$

Ordeztu b-2 balioa a balioarekin beste ekuazioan (3a+4b=2429).

$$3\left(b-2\right)+4b=2429$$

Egin 3 bider b-2.

$$3b-6+4b=2429$$

Gehitu 3b eta 4b.

$$7b-6=2429$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7b=2435$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$b=\frac{2435}{7}$$

Ordeztu \frac{2435}{7} b balioarekin a=b-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{2435}{7}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{2435}{7}.

$$a=\frac{2421}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\\-\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2421}{7}\\\frac{2435}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

a eta 3a berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3a+3\left(-1\right)b=3\left(-2\right),3a+4b=2429$$

Sinplifikatu.

$$3a-3b=-6,3a+4b=2429$$

Egin 3a+4b=2429 ken 3a-3b=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3a-3a-3b-4b=-6-2429$$

Gehitu 3a eta -3a. Sinplifikatu egiten dira 3a eta -3a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3b-4b=-6-2429$$

Gehitu -3b eta -4b.

$$-7b=-6-2429$$

Gehitu -6 eta -2429.

$$-7b=-2435$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$b=\frac{2435}{7}$$

Ordeztu \frac{2435}{7} b balioarekin 3a+4b=2429 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$3a+4\times \frac{2435}{7}=2429$$

Egin 4 bider \frac{2435}{7}.

$$3a+\frac{9740}{7}=2429$$

Egin ken \frac{9740}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=\frac{7263}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{2421}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$