Resolver {l}{a^2+b^2=13}{a+b=4}

$$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 } \\ { a + b = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883\text{, }b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117$$

$$a=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117\text{, }b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+b=4,b^{2}+a^{2}=13$$

Ebatzi a+b=4 ekuazioko a. Horretarako, isolatu a berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$a+b=4$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-b+4$$

Ordeztu -b+4 balioa a balioarekin beste ekuazioan (b^{2}+a^{2}=13).

$$b^{2}+\left(-b+4\right)^{2}=13$$

Egin -b+4 ber bi.

$$b^{2}+b^{2}-8b+16=13$$

Gehitu b^{2} eta b^{2}.

$$2b^{2}-8b+16=13$$

Egin ken 13 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2b^{2}-8b+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\times 4\left(-1\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 4\left(-1\right)\times 2 ber bi.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-24}}{2\times 2}$$

Gehitu 64 eta -24.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{40}}{2\times 2}$$

Atera 40 balioaren erro karratua.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

1\times 4\left(-1\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

Orain, ebatzi b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 2\sqrt{10}.

$$b=\frac{2\sqrt{10}+8}{4}$$

Zatitu 8+2\sqrt{10} balioa 4 balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Orain, ebatzi b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{10} ken 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{10}}{4}$$

Zatitu 8-2\sqrt{10} balioa 4 balioarekin.

$$b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Bi ebazpide ditu b balioak: 2+\frac{\sqrt{10}}{2} eta 2-\frac{\sqrt{10}}{2}. Ordeztu 2+\frac{\sqrt{10}}{2} balioa b balioarekin a=-b+4 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren a balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

Orain, ordeztu 2-\frac{\sqrt{10}}{2} balioa a=-b+4 ekuazioko b balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren a balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\text{ or }a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$