Resolver {l}{a=b}{a+b=5}

$$\left. \begin{array} { l } { a = b } \\ { a + b = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu b bi aldeetatik.

$$a-b=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a-b=0,a+b=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a-b=0$$

Gehitu b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=b$$

Ordeztu b balioa a balioarekin beste ekuazioan (a+b=5).

$$b+b=5$$

Gehitu b eta b.

$$2b=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$b=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} b balioarekin a=b ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu b bi aldeetatik.

$$a-b=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a-b=0,a+b=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu b bi aldeetatik.

$$a-b=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a-b=0,a+b=5$$

Egin a+b=5 ken a-b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a-a-b-b=-5$$

Gehitu a eta -a. Sinplifikatu egiten dira a eta -a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-b-b=-5$$

Gehitu -b eta -b.

$$-2b=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$b=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} b balioarekin a+b=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a+\frac{5}{2}=5$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$