Resolver {l}{a+4d=21}{-2a+6d=0}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 4 d = 21 } \\ { - 2 a + 6 d = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, d

$$a=9$$

$$d=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+4d=21$$

Egin ken 4d ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-4d+21$$

Ordeztu -4d+21 balioa a balioarekin beste ekuazioan (-2a+6d=0).

$$-2\left(-4d+21\right)+6d=0$$

Egin -2 bider -4d+21.

$$8d-42+6d=0$$

Gehitu 8d eta 6d.

$$14d-42=0$$

Gehitu 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$14d=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$d=3$$

Ordeztu 3 d balioarekin a=-4d+21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-4\times 3+21$$

Egin -4 bider 3.

$$a=-12+21$$

Gehitu 21 eta -12.

$$a=9$$

Ebatzi da sistema.

$$a=9,d=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{6-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{6-4\left(-2\right)}&\frac{1}{6-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 21\\\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Atera a eta d matrize-elementuak.

$$a=9,d=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

a eta -2a berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2a-2\times 4d=-2\times 21,-2a+6d=0$$

Sinplifikatu.

$$-2a-8d=-42,-2a+6d=0$$

Egin -2a+6d=0 ken -2a-8d=-42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2a+2a-8d-6d=-42$$

Gehitu -2a eta 2a. Sinplifikatu egiten dira -2a eta 2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8d-6d=-42$$

Gehitu -8d eta -6d.

$$-14d=-42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$d=3$$

Ordeztu 3 d balioarekin -2a+6d=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2a+6\times 3=0$$

Egin 6 bider 3.

$$-2a+18=0$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2a=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$a=9$$

Ebatzi da sistema.

$$a=9,d=3$$