Resolver {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$Ax+By=C$$

Egin ken By ekuazioaren bi aldeetan.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak A balioarekin.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Egin \frac{1}{A} bider -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Ordeztu \frac{-By+C}{A} balioa x balioarekin beste ekuazioan (Dx+Cy=F).

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Egin D bider \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Gehitu -\frac{DBy}{A} eta Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Egin ken \frac{DC}{A} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak C-\frac{DB}{A} balioarekin.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Ordeztu \frac{FA-DC}{CA-DB} y balioarekin x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Egin -\frac{B}{A} bider \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Gehitu \frac{C}{A} eta -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax eta Dx berdintzeko, biderkatu D balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu A balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Sinplifikatu.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Egin ADx+ACy=AF ken ADx+BDy=CD berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Gehitu DAx eta -DAx. Sinplifikatu egiten dira DAx eta -DAx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Gehitu DBy eta -ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak DB-AC balioarekin.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Ordeztu \frac{DC-AF}{DB-AC} y balioarekin Dx+Cy=F ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Egin C bider \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Egin ken \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} ekuazioaren bi aldeetan.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak D balioarekin.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$