Resolver {l}{A+B=9}{A-B=1}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B = 9 } \\ { A - B = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A=5$$

$$B=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$A+B=9,A-B=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$A+B=9$$

Egin ken B ekuazioaren bi aldeetan.

$$A=-B+9$$

Ordeztu -B+9 balioa A balioarekin beste ekuazioan (A-B=1).

$$-B+9-B=1$$

Gehitu -B eta -B.

$$-2B+9=1$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2B=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$B=4$$

Ordeztu 4 B balioarekin A=-B+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=-4+9$$

Gehitu 9 eta -4.

$$A=5$$

Ebatzi da sistema.

$$A=5,B=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$A+B=9,A-B=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=5,B=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$A+B=9,A-B=1$$

Egin A-B=1 ken A+B=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$A-A+B+B=9-1$$

Gehitu A eta -A. Sinplifikatu egiten dira A eta -A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$B+B=9-1$$

Gehitu B eta B.

$$2B=9-1$$

Gehitu 9 eta -1.

$$2B=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$B=4$$

Ordeztu 4 B balioarekin A-B=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A-4=1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$A=5$$

Ebatzi da sistema.

$$A=5,B=4$$