Resolver {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$A+B+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$A+B=-1$$

Egin ken B ekuazioaren bi aldeetan.

$$A=-B-1$$

Ordeztu -B-1 balioa A balioarekin beste ekuazioan (A-2B=3).

$$-B-1-2B=3$$

Gehitu -B eta -2B.

$$-3B-1=3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3B=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Ordeztu -\frac{4}{3} B balioarekin A=-B-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

Egin -1 bider -\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

Gehitu -1 eta \frac{4}{3}.

$$A=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Egin A-2B=3 ken A+B+1=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

Gehitu A eta -A. Sinplifikatu egiten dira A eta -A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$B+2B+1=-3$$

Gehitu B eta 2B.

$$3B+1=-3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3B=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Ordeztu -\frac{4}{3} B balioarekin A-2B=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

Egin -2 bider -\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

Egin ken \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$A=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$