Resolver {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-7y=-19$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=7y-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

Ordeztu \frac{7y-19}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=7).

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

Egin 3 bider \frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

Gehitu \frac{7y}{3} eta y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

Gehitu \frac{19}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

Egin \frac{7}{9} bider 4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

Gehitu -\frac{19}{9} eta \frac{28}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

9x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

Sinplifikatu.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

Egin 27x+9y=63 ken 27x-21y=-57 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-21y-9y=-57-63$$

Gehitu -21y eta -9y.

$$-30y=-57-63$$

Gehitu -57 eta -63.

$$-30y=-120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 3x+y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4=7$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$