Resolver {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-3y-13=0$$

Gehitu 13 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x-3y=13$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=3y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Ordeztu \frac{y}{3}+\frac{13}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y-4=0).

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Egin 2 bider \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Gehitu \frac{26}{9} eta -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Gehitu \frac{10}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2}{3} y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Egin \frac{1}{3} bider \frac{2}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Gehitu \frac{13}{9} eta \frac{2}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Egin 18x+9y-36=0 ken 18x-6y-26=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Gehitu -6y eta -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Gehitu -26 eta 36.

$$-15y+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2}{3} y balioarekin 2x+y-4=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Gehitu \frac{2}{3} eta -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Gehitu \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$