Resolver {l}{9x-3y=27}{9x-10y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y = 27 } \\ { 9 x - 10 y = 27 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-3y=27$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=3y+27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+27\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 27+3y.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Ordeztu \frac{y}{3}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-10y=27).

$$9\left(\frac{1}{3}y+3\right)-10y=27$$

Egin 9 bider \frac{y}{3}+3.

$$3y+27-10y=27$$

Gehitu 3y eta -10y.

$$-7y+27=27$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}&-\frac{-3}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}\\-\frac{9}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}&\frac{9}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{63}&-\frac{1}{21}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{63}\times 27-\frac{1}{21}\times 27\\\frac{1}{7}\times 27-\frac{1}{7}\times 27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

Egin 9x-10y=27 ken 9x-3y=27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9x-9x-3y+10y=27-27$$

Gehitu 9x eta -9x. Sinplifikatu egiten dira 9x eta -9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+10y=27-27$$

Gehitu -3y eta 10y.

$$7y=27-27$$

Gehitu 27 eta -27.

$$7y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 9x-10y=27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=0$$