Resolver {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+y=88$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=-y+88$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Ordeztu \frac{-y+88}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-8y=7).

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

Egin 7 bider \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

Gehitu -\frac{7y}{9} eta -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Egin ken \frac{616}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{79}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

Egin -\frac{1}{9} bider 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Gehitu \frac{88}{9} eta -\frac{7}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

9x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Sinplifikatu.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Egin 63x-72y=63 ken 63x+7y=616 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

Gehitu 63x eta -63x. Sinplifikatu egiten dira 63x eta -63x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y+72y=616-63$$

Gehitu 7y eta 72y.

$$79y=616-63$$

Gehitu 616 eta -63.

$$79y=553$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 79 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin 7x-8y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-8\times 7=7$$

Egin -8 bider 7.

$$7x-56=7$$

Gehitu 56 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=7$$