Resolver {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+7y=6$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=-7y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+3y=9).

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

Egin 8 bider -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Gehitu -\frac{56y}{9} eta 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Egin ken \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{29}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Ordeztu -\frac{33}{29} y balioarekin x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{7}{9} bider -\frac{33}{29}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{77}{87} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{45}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Sinplifikatu.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Egin 72x+27y=81 ken 72x+56y=48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

Gehitu 72x eta -72x. Sinplifikatu egiten dira 72x eta -72x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$56y-27y=48-81$$

Gehitu 56y eta -27y.

$$29y=48-81$$

Gehitu 48 eta -81.

$$29y=-33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 29 balioarekin.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Ordeztu -\frac{33}{29} y balioarekin 8x+3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

Egin 3 bider -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Gehitu \frac{99}{29} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{45}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$