Resolver {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+13y=9$$

Egin ken 13y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=-13y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Ordeztu -\frac{13y}{9}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=11).

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Egin 2 bider -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Gehitu -\frac{26y}{9} eta y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Ordeztu -\frac{81}{17} y balioarekin x=-\frac{13}{9}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Egin -\frac{13}{9} bider -\frac{81}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Sinplifikatu.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Egin 18x+9y=99 ken 18x+26y=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$26y-9y=18-99$$

Gehitu 26y eta -9y.

$$17y=18-99$$

Gehitu 18 eta -99.

$$17y=-81$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Ordeztu -\frac{81}{17} y balioarekin 2x+y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Gehitu \frac{81}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{134}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$