Resolver {l}{9a-3b=6}{12a=9b+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 a - 3 b = 6 } \\ { 12 a = 9 b + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=1$$

$$b=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9b bi aldeetatik.

$$12a-9b=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9a-3b=6$$

Gehitu 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$9a=3b+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$a=\frac{1}{9}\left(3b+6\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 6+3b.

$$a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2+b}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (12a-9b=3).

$$12\left(\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}\right)-9b=3$$

Egin 12 bider \frac{2+b}{3}.

$$4b+8-9b=3$$

Gehitu 4b eta -9b.

$$-5b+8=3$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5b=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{1+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9b bi aldeetatik.

$$12a-9b=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6-\frac{1}{15}\times 3\\\frac{4}{15}\times 6-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=1,b=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9b bi aldeetatik.

$$12a-9b=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

9a eta 12a berdintzeko, biderkatu 12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$12\times 9a+12\left(-3\right)b=12\times 6,9\times 12a+9\left(-9\right)b=9\times 3$$

Sinplifikatu.

$$108a-36b=72,108a-81b=27$$

Egin 108a-81b=27 ken 108a-36b=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$108a-108a-36b+81b=72-27$$

Gehitu 108a eta -108a. Sinplifikatu egiten dira 108a eta -108a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-36b+81b=72-27$$

Gehitu -36b eta 81b.

$$45b=72-27$$

Gehitu 72 eta -27.

$$45b=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 45 balioarekin.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin 12a-9b=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$12a-9=3$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12a=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=1$$