Resolver {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=700$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+20y=800$$

Egin ken 20y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-20y+800$$

Ordeztu -20y+800 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+15y=700).

$$-20y+800+15y=700$$

Gehitu -20y eta 15y.

$$-5y+800=700$$

Egin ken 800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=-20y+800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-20\times 20+800$$

Egin -20 bider 20.

$$x=-400+800$$

Gehitu 800 eta -400.

$$x=400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=400,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=700$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=400,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=700$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Egin x+15y=700 ken x+20y=800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-15y=800-700$$

Gehitu 20y eta -15y.

$$5y=800-700$$

Gehitu 800 eta -700.

$$5y=100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x+15y=700 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+15\times 20=700$$

Egin 15 bider 20.

$$x+300=700$$

Egin ken 300 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=400,y=20$$