Resolver {l}{800=x+20y}{+00=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { + 00 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2400$$

$$y=160$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 0 lortzeko, biderkatu 0 eta 0.

$$0=x+15y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+20y=800$$

Egin ken 20y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-20y+800$$

Ordeztu -20y+800 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+15y=0).

$$-20y+800+15y=0$$

Gehitu -20y eta 15y.

$$-5y+800=0$$

Egin ken 800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=160$$

Ordeztu 160 y balioarekin x=-20y+800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-20\times 160+800$$

Egin -20 bider 160.

$$x=-3200+800$$

Gehitu 800 eta -3200.

$$x=-2400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2400,y=160$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 0 lortzeko, biderkatu 0 eta 0.

$$0=x+15y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800\\\frac{1}{5}\times 800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2400\\160\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2400,y=160$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+20y=800$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 0 lortzeko, biderkatu 0 eta 0.

$$0=x+15y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+15y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Egin x+15y=0 ken x+20y=800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+20y-15y=800$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-15y=800$$

Gehitu 20y eta -15y.

$$5y=800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=160$$

Ordeztu 160 y balioarekin x+15y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+15\times 160=0$$

Egin 15 bider 160.

$$x+2400=0$$

Egin ken 2400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2400,y=160$$