Resolver {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$80x+160y=4$$

Egin ken 160y ekuazioaren bi aldeetan.

$$80x=-160y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 80 balioarekin.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Egin \frac{1}{80} bider -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Ordeztu -2y+\frac{1}{20} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=0.1).

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Egin ken \frac{1}{20} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{20}$$

Ordeztu \frac{1}{20} y balioarekin x=-2y+\frac{1}{20} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Egin -2 bider \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Gehitu \frac{1}{20} eta -\frac{1}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 80 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Sinplifikatu.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Egin 80x+240y=8 ken 80x+160y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Gehitu 80x eta -80x. Sinplifikatu egiten dira 80x eta -80x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$160y-240y=4-8$$

Gehitu 160y eta -240y.

$$-80y=4-8$$

Gehitu 4 eta -8.

$$-80y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -80 balioarekin.

$$y=\frac{1}{20}$$

Ordeztu \frac{1}{20} y balioarekin x+3y=0.1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Egin 3 bider \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Egin ken \frac{3}{20} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$