Resolver {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$80x+160y=4$$

Egin ken 160y ekuazioaren bi aldeetan.

$$80x=-160y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 80 balioarekin.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Egin \frac{1}{80} bider -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Ordeztu -2y+\frac{1}{20} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5600x+5600y=5536).

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

Egin 5600 bider -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

Gehitu -11200y eta 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

Egin ken 280 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5600y=5256$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5600 balioarekin.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Ordeztu -\frac{657}{700} y balioarekin x=-2y+\frac{1}{20} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

Egin -2 bider -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Gehitu \frac{1}{20} eta \frac{657}{350} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x eta 5600x berdintzeko, biderkatu 5600 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 80 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Sinplifikatu.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Egin 448000x+448000y=442880 ken 448000x+896000y=22400 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

Gehitu 448000x eta -448000x. Sinplifikatu egiten dira 448000x eta -448000x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

Gehitu 896000y eta -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

Gehitu 22400 eta -442880.

$$448000y=-420480$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 448000 balioarekin.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Ordeztu -\frac{657}{700} y balioarekin 5600x+5600y=5536 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

Egin 5600 bider -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

Gehitu 5256 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5600x=10792$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5600 balioarekin.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$