Resolver {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8y+x=7$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=-x+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Ordeztu \frac{-x+7}{8} balioa y balioarekin beste ekuazioan (7y+8x=16).

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

Egin 7 bider \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Gehitu -\frac{7x}{8} eta 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Egin ken \frac{49}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{57}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{79}{57}$$

Ordeztu \frac{79}{57} x balioarekin y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Egin -\frac{1}{8} bider \frac{79}{57}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} eta -\frac{79}{456} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{40}{57}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y eta 7y berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Sinplifikatu.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Egin 56y+64x=128 ken 56y+7x=49 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Gehitu 56y eta -56y. Sinplifikatu egiten dira 56y eta -56y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7x-64x=49-128$$

Gehitu 7x eta -64x.

$$-57x=49-128$$

Gehitu 49 eta -128.

$$-57x=-79$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -57 balioarekin.

$$x=\frac{79}{57}$$

Ordeztu \frac{79}{57} x balioarekin 7y+8x=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

Egin 8 bider \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Egin ken \frac{632}{57} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{40}{57}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$