Resolver {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x-9y=15$$

Gehitu 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=9y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

Ordeztu \frac{9y+15}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+3y=9).

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

Egin -5 bider \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

Gehitu -\frac{45y}{8} eta 3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Gehitu \frac{75}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{21}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

Egin \frac{9}{8} bider -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Gehitu \frac{15}{8} eta -\frac{63}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-6,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

8x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Sinplifikatu.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

Egin -40x+24y=72 ken -40x+45y=-75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

Gehitu -40x eta 40x. Sinplifikatu egiten dira -40x eta 40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$45y-24y=-75-72$$

Gehitu 45y eta -24y.

$$21y=-75-72$$

Gehitu -75 eta -72.

$$21y=-147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin -5x+3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

Egin 3 bider -7.

$$-5x-21=9$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=-7$$