Resolver {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$8x-5y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 lortzeko, zatitu -10 5 balioarekin.

$$y-3x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x-5y=3$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=5y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider 5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

Ordeztu \frac{5y+3}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+y=-2).

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

Egin -3 bider \frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Gehitu -\frac{15y}{8} eta y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Gehitu \frac{9}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Gehitu \frac{3}{8} eta \frac{5}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$8x-5y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 lortzeko, zatitu -10 5 balioarekin.

$$y-3x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$8x-5y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 lortzeko, zatitu -10 5 balioarekin.

$$y-3x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

8x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

Egin -24x+8y=-16 ken -24x+15y=-9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Gehitu -24x eta 24x. Sinplifikatu egiten dira -24x eta 24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-8y=-9+16$$

Gehitu 15y eta -8y.

$$7y=-9+16$$

Gehitu -9 eta 16.

$$7y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin -3x+y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+1=-2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$