Resolver {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x-5y=10$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=5y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-4y=11).

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Egin 6 bider \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Gehitu \frac{15y}{4} eta -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-14$$

Ordeztu -14 y balioarekin x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Egin \frac{5}{8} bider -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta -\frac{35}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Sinplifikatu.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Egin 48x-32y=88 ken 48x-30y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Gehitu 48x eta -48x. Sinplifikatu egiten dira 48x eta -48x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y+32y=60-88$$

Gehitu -30y eta 32y.

$$2y=60-88$$

Gehitu 60 eta -88.

$$2y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-14$$

Ordeztu -14 y balioarekin 6x-4y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Egin -4 bider -14.

$$6x+56=11$$

Egin ken 56 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$