Resolver {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+y=64$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-y+64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -y+64.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

Ordeztu -\frac{y}{8}+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=42).

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

Gehitu -\frac{y}{8} eta y.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{8}y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{272}{7}$$

Ordeztu \frac{272}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{8}y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

Egin -\frac{1}{8} bider \frac{272}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

Gehitu 8 eta -\frac{34}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Egin x+y=42 ken 8x+y=64 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-x+y-y=64-42$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8x-x=64-42$$

Gehitu 8x eta -x.

$$7x=64-42$$

Gehitu 64 eta -42.

$$7x=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{22}{7}$$

Ordeztu \frac{22}{7} x balioarekin x+y=42 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

Egin ken \frac{22}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{272}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$