Resolver {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+4y=-4$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-4y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -4y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-y-1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-2y=8).

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

Egin 4 bider \frac{-y-1}{2}.

$$-2y-2-2y=8$$

Gehitu -2y eta -2y.

$$-4y-2=8$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{5}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{5}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

8x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

Sinplifikatu.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

Egin 32x-16y=64 ken 32x+16y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

Gehitu 32x eta -32x. Sinplifikatu egiten dira 32x eta -32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y+16y=-16-64$$

Gehitu 16y eta 16y.

$$32y=-16-64$$

Gehitu -16 eta -64.

$$32y=-80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 32 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} y balioarekin 4x-2y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

Egin -2 bider -\frac{5}{2}.

$$4x+5=8$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$