Resolver {l}{8x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=70).

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

Egin 3 bider \frac{-3y+5}{8}.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

Gehitu -\frac{9y}{8} eta 2y.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

Egin ken \frac{15}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{545}{7}$$

Ordeztu \frac{545}{7} y balioarekin x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

Egin -\frac{3}{8} bider \frac{545}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} eta -\frac{1635}{56} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

8x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

Sinplifikatu.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

Egin 24x+16y=560 ken 24x+9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-16y=15-560$$

Gehitu 9y eta -16y.

$$-7y=15-560$$

Gehitu 15 eta -560.

$$-7y=-545$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=\frac{545}{7}$$

Ordeztu \frac{545}{7} y balioarekin 3x+2y=70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

Egin 2 bider \frac{545}{7}.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

Egin ken \frac{1090}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$