Resolver {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8a-b=9$$

Gehitu b ekuazioaren bi aldeetan.

$$8a=b+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

Ordeztu \frac{9+b}{8} balioa a balioarekin beste ekuazioan (4a+9b=7).

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

Egin 4 bider \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

Gehitu \frac{b}{2} eta 9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=\frac{5}{19}$$

Ordeztu \frac{5}{19} b balioarekin a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

Egin \frac{1}{8} bider \frac{5}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Gehitu \frac{9}{8} eta \frac{5}{152} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a eta 4a berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Sinplifikatu.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

Egin 32a+72b=56 ken 32a-4b=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

Gehitu 32a eta -32a. Sinplifikatu egiten dira 32a eta -32a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4b-72b=36-56$$

Gehitu -4b eta -72b.

$$-76b=36-56$$

Gehitu 36 eta -56.

$$-76b=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -76 balioarekin.

$$b=\frac{5}{19}$$

Ordeztu \frac{5}{19} b balioarekin 4a+9b=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

Egin 9 bider \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

Egin ken \frac{45}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a=\frac{88}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$