Resolver {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$8+4x-2y=0$$

Kendu 8 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$4x-2y=-8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-4x+3y=14$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y=-8$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Ordeztu \frac{y}{2}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+3y=14).

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Egin -4 bider \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y+8=14$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=\frac{1}{2}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Egin \frac{1}{2} bider 6.

$$x=3-2$$

Gehitu -2 eta 3.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$8+4x-2y=0$$

Kendu 8 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$4x-2y=-8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-4x+3y=14$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$8+4x-2y=0$$

Kendu 8 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$4x-2y=-8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-4x+3y=14$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

4x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Sinplifikatu.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Egin -16x+12y=56 ken -16x+8y=32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Gehitu -16x eta 16x. Sinplifikatu egiten dira -16x eta 16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-12y=32-56$$

Gehitu 8y eta -12y.

$$-4y=32-56$$

Gehitu 32 eta -56.

$$-4y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin -4x+3y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+3\times 6=14$$

Egin 3 bider 6.

$$-4x+18=14$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=6$$