Resolver {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$73x-7y=66$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$73x=7y+66$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 73 balioarekin.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

Egin \frac{1}{73} bider 7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Ordeztu \frac{7y+66}{73} balioa x balioarekin beste ekuazioan (18x+98y=25).

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

Egin 18 bider \frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

Gehitu \frac{126y}{73} eta 98y.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Egin ken \frac{1188}{73} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7280}{73} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{7}{80}$$

Ordeztu \frac{7}{80} y balioarekin x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Egin \frac{7}{73} bider \frac{7}{80}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Gehitu \frac{66}{73} eta \frac{49}{5840} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{73}{80}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

73x eta 18x berdintzeko, biderkatu 18 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 73 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Sinplifikatu.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Egin 1314x+7154y=1825 ken 1314x-126y=1188 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

Gehitu 1314x eta -1314x. Sinplifikatu egiten dira 1314x eta -1314x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

Gehitu -126y eta -7154y.

$$-7280y=1188-1825$$

Gehitu 1188 eta -1825.

$$-7280y=-637$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7280 balioarekin.

$$y=\frac{7}{80}$$

Ordeztu \frac{7}{80} y balioarekin 18x+98y=25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

Egin 98 bider \frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Egin ken \frac{343}{40} ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x=\frac{657}{40}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$x=\frac{73}{80}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$