Resolver {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$7x-y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$11x-y=-9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x-y=39$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=y+39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Ordeztu \frac{39+y}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (11x-y=-9).

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Egin 11 bider \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Gehitu \frac{11y}{7} eta -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Egin ken \frac{429}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{4}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-123$$

Ordeztu -123 y balioarekin x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Egin \frac{1}{7} bider -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Gehitu \frac{39}{7} eta -\frac{123}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-123$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$7x-y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$11x-y=-9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-12,y=-123$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$7x-y=39$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$11x-y=-9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Egin 11x-y=-9 ken 7x-y=39 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7x-11x=39+9$$

Gehitu 7x eta -11x.

$$-4x=39+9$$

Gehitu 39 eta 9.

$$-4x=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-12$$

Ordeztu -12 x balioarekin 11x-y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Egin 11 bider -12.

$$-132-y=-9$$

Gehitu 132 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=123$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-123$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-123$$